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【高校数学】シャンパンタワーに必要なグラスの個数を徹底的に求めてみた

資格・勉強

この前急に友達とシャンパンタワーやろうぜって話になったんですが，そこで最初に気になるものと言えばこれですよね

「シャンパンタワーってグラス何個いるん？？」

ということで今回はシャンパンタワーの形ごとに，必要なグラスの個数を求めていきたいと思います！(結局シャンパンタワーやりませんでした)

シャンパンタワーの形は？
グラスの個数を求めていこう！
- 正方形のシャンパンタワー
- 正三角形のシャンパンタワー
まとめ

シャンパンタワーの形は？

ヌルっと始まりました。共通テストの数学みたいですね

まずはシャンパンタワーの形について考えていきます！パッと思いつく感じで高く積み上げられそうなのは，正方形を積み重ねていくものと正三角形を積み重ねていくものでしょうか。

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こんなイメージですね。

ではそれぞれについてグラスの個数を求めていきましょう！

グラスの個数を求めていこう！

必要なグラスの個数を求める際，まずは $n$ 段目のグラスの個数を求めておき，それを1段目から足していくと良いでしょう。正方形の場合と正三角形の場合についてそれぞれ考えていきます。

正方形のシャンパンタワー

正方形の場合，1段目は1個，2段目は4個，3段目は9個 $\cdots$ というように， $k$ 段目には $k^2$ 個のグラスがあります。よって $k$ 段目のグラスの個数を表す数列 $a_k$ は

$a_k=k^2$

となります。

この数列 $a_k$ を $k=1$ のときから $k=n$ のときまで全て足し合わせることで $n$ 段のシャンパンタワーに必要なグラスの個数が求まります。したがって $n$ 段のシャンパンタワーに必要なグラスの個数を $S_n$ とすれば

$S_n=\sum ^{n}_{k=1}k^2\\\ \ \ \ =\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

として求めることができます。

例として $n=6$ のとき $S_n=91$ ， $n=10$ のとき $S_n=385$ みたいな感じでシャンパンタワーに必要なグラスの個数がわかりますね。ちなみにグラフに表すとこんな感じです。

※縦軸：グラスの個数 $\times10^3$ [個]

　横軸：段数[段]

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$n^3$ に比例するので，段数の増加に伴ってものすごい勢いでグラスの個数も増加しているのがわかります。

正三角形のシャンパンタワー

続いて正三角形の場合です。正三角形の場合，1段目は1個，2段目は3個，3段目は6個，4段目には10個 $\cdots$ というようになっています。

これ，増加具合に注目してあげると

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$+2,+3,+4\cdots$ となっているのがわかります。これは大学生からするともはや懐かしくて覚えていない階差数列(階差1)というやつですね。

したがって $k$ 段目のグラスの個数を表す数列 $a_k$ は

$a_k=1+\sum ^{k-1}_{t=1}(t+1)\\\ \ \ \ =1+\frac{k(k-1)}{2}+(k-1)\\\ \ \ \ =\frac{k^2+k}{2}$

となります。

ここからは先ほどと同様， $a_k$ を $k=1$ のときから $k=n$ のときまで全て足し合わせることで $n$ 段のシャンパンタワーに必要なグラスの個数が求まります。したがって $n$ 段のシャンパンタワーに必要なグラスの個数 $S_n$ は

$S_n=\sum ^{n}_{k=1}(\frac{k^2+k}{2})\\\ \ \ \ =\frac{1}{12}n(n+1)(2n+1)+\frac{n(n+1)}{4}\\\ \ \ \ =\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

と求まります。

$n=6$ のときは $S_n=56$ ， $n=10$ のときは $S_n=220$ ですね。こっちもグラフに表すとこんな感じ。

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こちらも先ほどと同様 $n^3$ に比例するので，段数の増加に伴ってものすごい勢いでグラスの個数も増加していきます。

両方表示するとこんな感じ(需要...)

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へーー

しか思わないけど

まとめ

今回はシャンパンタワーに必要なグラスの個数を頑張って求めてみました。

いやあ，こういうところに高校数学って生きるんですねぇ()

ところでWEB上で式を表すときって「tex」の記法を使うの知っていましたか？

今回記事を書くにあたって非常に便利なサイトを見つけたので次回それについて紹介してみたいと思います。

kuromura760.hatenablog.com

それでは今回はここまで！最後までご覧いただきありがとうございました～